Python和R及Julia妊娠相关疾病生物剖析算法

🎯要点

算法使用了矢量投影、现代优化线性代数、空间分区技术和大数据编程
利用相应向量空间中标量积和欧几里得距离的紧密关系来计算
使用妊娠相关疾病（先兆子痫）、健康妊娠和癌症测试算法模型
使用相关性投影利用相关性和欧几里得距离之间的关系

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在这里插入图片描述

🍇Python线性组合可视化

考虑 $R ^2$ 中的两个向量 $u$ 和 $v$ ，它们彼此独立，即不指向相同或相反的方向。因此， $R ^2$ 中的任何向量都可以用 $u$ 和 $v$ 的线性组合来表示。例如，这是一个线性组合，本质上是一个线性系统。
$c_1\left[\begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c} -2 \\ 2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 2 \\ 10 \end{array}\right]$

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import sympy as sy

sy.init_printing()

A = sy.Matrix([[4, -2, 2], [2, 2, 10]])
A.rref()

$\left(\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right],(0,1)\right)$

解是 $\left(c_1, c_2\right)^T=(2,3)^T$ ，这意味着 2 次 $\left[\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right]$ 和 3 次 $\left[\begin{array}{c}-2 \\ 2\end{array}\right]$ 相加等于 $\left[\begin{array}{c}2 \\ 10\end{array}\right]$ 。

计算向量的斜率，即 $\frac{y}{x}$ ：
$s_1=\frac{y}{x}=\frac{2}{4}=0.5 s_2=\frac{y}{x}=\frac{2}{-2}=-1$
基础可以构建为：
$y_1=a+0.5 x y_2=b-x$
其中 $a$ 和 $b$ 将被设置为具有规则间隔的常数，例如 $(2.5, 5, 7.5, 10)$ 。

基础的坐标以粉色网状网格表示，其中每个线段都是“新”坐标中的一个单位（如笛卡尔坐标系中的 1 ）。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
vectors = np.array(
    [[[0, 0, 4, 2]], [[0, 0, -2, 2]], [[0, 0, 2, 10]], [[0, 0, 8, 4]], [[0, 0, -6, 6]]]
)
colors = ["b", "b", "r", "b", "b"]

for i in range(vectors.shape[0]):
    X, Y, U, V = zip(*vectors[i, :, :])
    ax.quiver(
        X, Y, U, V, angles="xy", scale_units="xy", color=colors[i], scale=1, alpha=0.6
    )
    ax.text(
        x=vectors[i, 0, 2],
        y=vectors[i, 0, 3],
        s="$(%.0d, %.0d)$" % (vectors[i, 0, 2], vectors[i, 0, 3]),
        fontsize=16,
    )

points12 = np.array([[8, 4], [2, 10]])
ax.plot(points12[:, 0], points12[:, 1], color="b", lw=3.5, alpha=0.5, ls="--")

points34 = np.array([[-6, 6], [2, 10]])
ax.plot(points34[:, 0], points34[:, 1], color="b", lw=3.5, alpha=0.5, ls="--")

ax.set_xlim([-10, 10])
ax.set_ylim([0, 10.5])
ax.set_xlabel("x-axis", fontsize=16)
ax.set_ylabel("y-axis", fontsize=16)
ax.grid()

a = np.arange(-11, 20, 1)
x = np.arange(-11, 20, 1)

for i in a:
    y1 = i + 0.5 * x
    ax.plot(x, y1, ls="--", color="pink", lw=2)
    y2 = i - x
    ax.plot(x, y2, ls="--", color="pink", lw=2)

ax.set_title(
    r"Linear Combination of Two Vectors in $\mathbf{R}^2$", size=22, x=0.5, y=1.01
)

plt.show()

我们还可以证明， $R ^3$ 中的任何向量都可以是笛卡尔坐标系中标准基的线性组合。这是从标准基础绘制 3D 线性组合的函数，我们只需输入标量乘数。

def linearCombo(a, b, c):
    fig = plt.figure(figsize=(10, 10))
    ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")

    vec = np.array(
        [
            [[0, 0, 0, 1, 0, 0]],  
            [[0, 0, 0, 0, 1, 0]],  
            [[0, 0, 0, 0, 0, 1]],  
            [[0, 0, 0, a, 0, 0]],  
            [[0, 0, 0, 0, b, 0]], 
            [[0, 0, 0, 0, 0, c]],  
            [[0, 0, 0, a, b, c]],
        ]
    )  
    colors = ["b", "b", "b", "r", "r", "r", "g"]
    for i in range(vec.shape[0]):
        X, Y, Z, U, V, W = zip(*vec[i, :, :])
        ax.quiver(
            X,
            Y,
            Z,
            U,
            V,
            W,
            length=1,
            normalize=False,
            color=colors[i],
            arrow_length_ratio=0.08,
            pivot="tail",
            linestyles="solid",
            linewidths=3,
            alpha=0.6,
        )

    dlines = np.array(
        [
            [[a, 0, 0], [a, b, 0]],
            [[0, b, 0], [a, b, 0]],
            [[0, 0, c], [a, b, c]],
            [[0, 0, c], [a, 0, c]],
            [[a, 0, c], [a, b, c]],
            [[0, 0, c], [0, b, c]],
            [[0, b, c], [a, b, c]],
            [[a, 0, 0], [a, 0, c]],
            [[0, b, 0], [0, b, c]],
            [[a, b, 0], [a, b, c]],
        ]
    )
    colors = ["k", "k", "g", "k", "k", "k", "k", "k", "k"]
    for i in range(dlines.shape[0]):
        ax.plot(
            dlines[i, :, 0],
            dlines[i, :, 1],
            dlines[i, :, 2],
            lw=3,
            ls="--",
            color="black",
            alpha=0.5,
        )

    ax.text(x=a, y=b, z=c, s=" $(%0.d, %0.d, %.0d)$" % (a, b, c), size=18)
    ax.text(x=a, y=0, z=0, s=" $%0.d e_1 = (%0.d, 0, 0)$" % (a, a), size=15)
    ax.text(x=0, y=b, z=0, s=" $%0.d e_2 = (0, %0.d, 0)$" % (b, b), size=15)
    ax.text(x=0, y=0, z=c, s=" $%0.d e_3 = (0, 0, %0.d)$" % (c, c), size=15)

    ax.grid()
    ax.set_xlim([0, a + 1])
    ax.set_ylim([0, b + 1])
    ax.set_zlim([0, c + 1])

    ax.set_xlabel("x-axis", size=18)
    ax.set_ylabel("y-axis", size=18)
    ax.set_zlabel("z-axis", size=18)

    ax.set_title("Vector $(%0.d, %0.d, %.0d)$ Visualization" % (a, b, c), size=20)

    ax.view_init(elev=20.0, azim=15)


if __name__ == "__main__":
    a = 7
    b = 4
    c = 9
    linearCombo(a, b, c)

不一致系统意味着不存在唯一解。将不一致系统的解视为线性组合似乎很奇怪，但它本质上代表了一条线的轨迹。我们将从线性组合的角度探讨解的含义。

考虑此系统：
$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right]$
Python解

A = sy.Matrix([[1, 1, 2, 1], [-2, 0, 1, -3], [1, 1, 2, 1]])
A.rref()

$\left(\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right],(0,1)\right)$

由于自由变量的存在，该解不是唯一的：
$c_1-\frac{1}{2} c_3=\frac{3}{2} c_2+\frac{5}{2} c_3=-\frac{1}{2} c_3=\text { 自由变量 }$
令 $c_3= t$ ，系统可以参数化：
$\left[\begin{array}{l} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \frac{3}{2}+\frac{1}{2} t \\ -\frac{1}{2}-\frac{5}{2} t \\ t \end{array}\right]$
该解是一条无限长的线，为了将其形象化，我们设置 $\in(-1,1)$ 的范围，解如下所示：

fig = plt.figure(figsize=(8, 8))
ax = fig.add_subplot(projection="3d")

t = np.linspace(-1, 1, 10)
c1 = 3 / 2 + t / 2
c2 = -1 / 2 - 5 / 2 * t

ax.plot(c1, c2, t, lw=5)

ax.set_xlabel("x-axis", size=18)
ax.set_ylabel("y-axis", size=18)
ax.set_zlabel("z-axis", size=18)

ax.set_title("Solution of A Linear System with One Free Variable", size=18)
plt.show()